Lớp 11Toán

Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1

Bạn đang xem: Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

b) 2n+1 > 2n + 3

Lời giải

Hướng dẫn

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n = k + 1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈N*.

a) Chứng minh: 3> 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ giả sử (1) đúng với n = k, tức là 3k > 3k + 1.

Khi đó:

3k + 1 = 3.3k

> 3.(3k + 1) = 9k + 3 = 3k + 3 + 6k = 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b) 2n + 1> 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ giả sử (2) khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.

Khi đó:

2k + 2 = 2.2k + 1

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Đăng bởi: THPT Văn Hiến

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button