Lớp 11Toán

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

I. Phương pháp chung

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x ∈ D

Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D

Bạn đang xem: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

Tìm m để phương trình có nghiệm

Cách 1: Phương pháp đạo hàm

+ Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)

+ Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1

+ Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0

+ Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D1

+ Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m

Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai ( áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc hai )

+ Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)

+ Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là D1

+ Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at2 + bt + c = 0

+ Bước 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có nghiệm t ∈ U

+ Bước 5: Kết luận

II. Giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải và biện luận phương trình: sinx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm.

Bước 2: Nếu |m|≤1, xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt m=sinα, ta được:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 2)

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 3)

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin(πsin2x)=1.

Ta có:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 4)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 5)

Khi đó (1) có dạng:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 6)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

2. Giải và biện luận phương trình: cosx=m.

PHƯƠNG PHÁP: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu |m|>1 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 2: Nếu |m|≤1, xét hai trường hợp:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 7)

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt, khi đó đặt m=cosα, ta được:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 8)

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 9)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 10)

Phương trình tương đương với:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 11)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 12)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

3. Giải và biện luận phương trình: tanx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Đặt điều kiện:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 13)

Xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 14)

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m=tanα, ta được:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 15)

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

4. Giải và biện luận phương trình: cotx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Đặt điều kiện:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 16)

Xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 17)

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m=cotα, ta được:

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số (ảnh 18)

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

Đăng bởi: THPT Văn Hiến

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button