Lớp 11Toán

Công thức hàm số lượng giác 11

Công thức hàm số lượng giác:

Cùng THPT Ninh Châu tìm hiểu thêm các dạng bài tập liên quan nhé:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 2)

Hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Bạn đang xem: Công thức hàm số lượng giác 11

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 3)

Ví dụ minh họa

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 4)

Đáp án và hướng dẫn giải

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 5)
Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 6)

 

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 7)

Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

+ Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có:

(a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 )

Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2

+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].

+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.

A. M=3 ; m= – 1.

B. M= 1 ; m= -1.

C. M=2 ;m= -2.

D. M=0 ; m= -2.

Lời giải:.

Chọn B.

Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 8)

Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A .x0 = π + k2π, kϵZ .

B .x0 = π/2 + kπ, kϵZ .

C .x0 = k2π, kϵZ .

D .x0 = kπ ,kϵZ .

Lời giải:.

Chọn B.

Ta có – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx = 0 ⇒ x = π/2 + kπ, kϵZ .

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Lời giải:.

Chọn C.

Ta có: y = sin2x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải & Ví dụ

– Phương trình sinx = a        (1)

    ♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 9)

và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

                x = arcsina + k2π, k ∈ Z

                và x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 10)

– Phương trình cosx = a        (2)

    ♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện 

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 11)

và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

                x = arccosa + k2π, k ∈ Z

                và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 12)

– Phương trình tanx = a        (3)

Điều kiện: 

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 13)

Nếu α thỏa mãn điều kiện 

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 14)

và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

                x = arctana + kπ,k ∈ Z

– Phương trình cotx = a        (4)

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện 

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 15)

và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

                x = arccota + kπ, k ∈ Z

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6)        c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1.              d) cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos2 x – sin2x =0.

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 16)

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 17)

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos2x – sin2x=0 ⇔ cos2x – 2sinx cosx=0

        ⇔ cosx (cosx – 2 sinx )=0

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 18)

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Công thức hàm số lượng giác 11 hay nhất (ảnh 19)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

Đăng bởi: THPT Văn Hiến

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button