Lớp 12Toán Học

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất

Công thức nguyên hàm từng phần

     Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…

     Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:

– Bước 1. Đặt 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 2)

 (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))

– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Bài tập:

  • Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt  
Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 3)
  • Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt 
Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 4)

Một số dạng nguyên hàng từng phần thường gặp

Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 5)

Dạng 2: 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 6)

trong đó P(x) là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 7)

Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là đa thức

Theo quy tắc ta đặt 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 8)

Dạng 4: 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 9)

Theo quy tắc ta đặt 

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 10)

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 11)

Khi đó:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 12)

 Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 13)

với f(x) là một hàm của đa thức.

Phương pháp giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 14)

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 15)

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 16)

Bước 1:  Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 17)

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 182)

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 19)

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 20)

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 21)

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 22)

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 23)

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 24)

Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau:

Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 25)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 26)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 27)

Các bước giải như sau:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 28)

– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 29)

Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây I=∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau:

Ta tiến hành đặt như sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 30)

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 31)

Lúc này ta tính: J=∫cosx.ex.dx

Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là

Đặt như sau

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 32)

Khi đó:

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất (ảnh 33)

Đăng bởi: THPT Văn Hiến

Chuyên mục: Lớp 12, Toán 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button